LES AUTRES JEUX
PROBABILITES
Conversation avec Copilot.
PhA : Dans un jeu de cartes, il y a 2 cartes « 2 », 3 cartes « 3 », 4 cartes « 4 », 5 cartes « 5 », 6 cartes « 6 », 7 cartes « 7 », 8 cartes « 8 », 9 cartes « 9 », 10 cartes « 10 », 11 cartes « 11 » et 12 cartes « 12 ». Lorsque je pioche 2 cartes, quelle est la probabilité de recevoir deux fois la même carte ?
Copilot : Pour résoudre ce problème, on va calculer la probabilité de tirer deux cartes identiques parmi les cartes disponibles.
Répartition des cartes
Il y a :
Cela forme une suite arithmétique de 11 valeurs (de 2 à 12), avec un nombre de cartes égal à la valeur de la carte.
Étape 1 : Nombre total de cartes
On calcule le total :
Étape 2 : Nombre total de paires possibles
Le nombre total de façons de tirer 2 cartes parmi 77 est :
(formule 2)
Étape 3 : Nombre de paires identiques possibles
Pour chaque valeur de carte ayant au moins 2 exemplaires, on peut former des paires identiques :
(formule 3)
On calcule la somme :
(formule 4)
Étape 4 : Probabilité
La probabilité de tirer deux cartes identiques est :
(formule 5)
Résultat final :
La probabilité de tirer deux cartes identiques est d’environ 9.77%.
PhA : Si je retire une troisième carte, quelle est la probabilité de posséder deux cartes identiques ?
Très bonne question ! Maintenant que vous piochez 3 cartes, on cherche la probabilité d’avoir au moins une paire (c’est-à-dire deux cartes identiques parmi les trois).
Il est souvent plus simple de calculer la probabilité complémentaire : celle de ne pas avoir de cartes identiques, puis de la soustraire de 1.
On a toujours 77 cartes au total.
Pour tirer 3 cartes toutes différentes, on doit choisir 3 valeurs différentes parmi les 11 disponibles (de 2 à 12), puis choisir une carte pour chaque valeur.
(formule 6)
Pour chaque valeur choisie, on a un certain nombre de cartes disponibles. Par exemple, si on choisit les valeurs 4, 7 et 10, on a :
Donc, pour chaque combinaison de 3 valeurs, le nombre de façons de choisir une carte pour chaque est :
produit des quantités disponibles pour ces 3 valeurs\text{produit des quantités disponibles pour ces 3 valeurs}produit des quantités disponibles pour ces 3 valeurs
Il faut donc faire la somme de tous ces produits pour les 165 combinaisons.
Le nombre total de façons de tirer 3 cartes parmi 77 est :
(formule 7)
On va maintenant calculer le nombre de tirages sans doublon (comme expliqué à l’étape 2), puis :
(formule 8)
En tirant 3 cartes de ce jeu, la probabilité d’obtenir au moins une paire (c’est-à-dire deux cartes identiques) est d’environ :
Cela signifie qu’il y a un peu plus d’une chance sur quatre d’avoir une paire parmi les trois cartes tirées.
PhA : Et si je retire une quatrième carte ?
En tirant 4 cartes de ce jeu, la probabilité d’obtenir au moins une paire (c’est-à-dire deux cartes identiques ou plus) est d’environ :
Cela signifie que vous avez presque une chance sur deux d’avoir au moins une paire parmi les quatre cartes tirées.
Évolution des probabilités :
2 cartes : 9.77%
3 cartes : 27.37%
4 cartes : 48.54%
5 cartes : environ 67.45%
6 cartes : environ 81.83%